基础数学示例

$\frac{a^{2} - 2 a - 3}{a^{2} - 9 a + 18} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $a^{2} - 2 a - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{a^{2} - 9 a + 18} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $a^{2} - 9 a + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $- 9$ 。

$- 6, - 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{(a - 6) (a - 3)} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1.3

约去 $a - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{(a - 6) (a - 3)} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1.4

使用 AC 法来对 $a^{2} - 5 a - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 6, 1$

解题步骤 1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{a^{2} + 9 a + 8}$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $a^{2} + 9 a + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $9$ 。

$1, 8$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{(a + 1) (a + 8)}$

解题步骤 1.6

约去 $a + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{(a + 1) (a + 8)}$

解题步骤 1.6.2

重写表达式。

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{a - 6}{a + 8}$

解题步骤 2

要将 $\frac{a + 1}{a - 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 8}{a + 8}$ 。

$\frac{a + 1}{a - 6} \cdot \frac{a + 8}{a + 8} + \frac{a - 6}{a + 8}$

解题步骤 3

要将 $\frac{a - 6}{a + 8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a - 6}{a - 6}$ 。

$\frac{a + 1}{a - 6} \cdot \frac{a + 8}{a + 8} + \frac{a - 6}{a + 8} \cdot \frac{a - 6}{a - 6}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a - 6) (a + 8)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{a + 1}{a - 6}$ 乘以 $\frac{a + 8}{a + 8}$ 。

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a - 6) (a + 8)} + \frac{a - 6}{a + 8} \cdot \frac{a - 6}{a - 6}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{a - 6}{a + 8}$ 乘以 $\frac{a - 6}{a - 6}$ 。

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a - 6) (a + 8)} + \frac{(a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a - 6) (a + 8)$ 的因式。

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a + 8) (a - 6)} + \frac{(a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(a + 1) (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(a + 1) (a + 8)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{a (a + 8) + 1 (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{a \cdot a + a \cdot 8 + 1 (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{a \cdot a + a \cdot 8 + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} + a \cdot 8 + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $8$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a^{2} + 8 \cdot a + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} + 8 a + a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} + 8 a + a + 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.2.2

将 $8 a$ 和 $a$ 相加。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.3

使用 FOIL 方法展开 $(a - 6) (a - 6)$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a (a - 6) - 6 (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a \cdot a + a \cdot - 6 - 6 (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a \cdot a + a \cdot - 6 - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} + a \cdot - 6 - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $- 6$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 6 \cdot a - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.4.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 6 a - 6 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.4.2

从 $- 6 a$ 中减去 $6 a$ 。

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 12 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.5

将 $a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$\frac{2 a^{2} + 9 a + 8 - 12 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.6

从 $9 a$ 中减去 $12 a$ 。

$\frac{2 a^{2} - 3 a + 8 + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

解题步骤 6.7

将 $8$ 和 $36$ 相加。

$\frac{2 a^{2} - 3 a + 44}{(a + 8) (a - 6)}$

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